教师哺乳期可以申请停薪留职，但需要满足一定条件。根据《中华人民共和国劳动法》规定，女职工怀孕、分娩或哺乳期间，如有特殊需要，可请假。此外，《国务院办公厅关于印发高校专任教师聘任与管理条例的通知》中也明确规定：高校专任教师在产假、哺乳期及相应照顾婴幼儿期间，其聘用关系不解除，不用于工作，不支付工资。

因此，教师在哺乳期间可以申请停薪留职，不过需与所在学校进行协商并符合相关规定。