农村生育服务证是由当地的计划生育部门或者妇幼保健院办理的。

农村生育服务证是为了规范农村人口生育管理，保障农村妇女孕产妇和婴幼儿的健康，提供相关服务和政策优惠而设立的。

计划生育部门或者妇幼保健院作为专门负责生育管理和服务的机构，具备相关的专业知识和资源，能够提供妇女孕产妇和婴幼儿的健康咨询、孕前优生检查、产前产后护理等服务，并办理农村生育服务证。

因此，农村生育服务证是由当地的计划生育部门或者妇幼保健院办理的。

此外，农村生育服务证的办理也需要提供相关的材料，如身份证、户口簿等，以便核实个人身份和家庭情况。

因此，在办理农村生育服务证时，需要前往当地的计划生育部门或者妇幼保健院，并准备好相关的材料进行申请办理。

总之，农村生育服务证是由当地的计划生育部门或者妇幼保健院办理的，他们具备相关的专业知识和资源，能够提供妇女孕产妇和婴幼儿的健康服务，并为符合条件的家庭提供政策优惠。