南京的失业待遇停止主要涉及以下几种情况：

1. 重新就业、从事个体经营、灵活就业且依法缴纳个人所得税、享受基本养老保险待遇、超出法定劳动年龄、完全丧失劳动能力或死亡、入学、服兵役、被判刑收监执行、移居境外、无正当理由拒不接受当地人民等。

2. 失业保险相关业务将于一定时间在全省范围暂停服务。

具体的停止失业待遇的情况可能因政策的变化而变化，建议咨询相关部门以获取最新和详细的信息。