平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²

根据多项式乘法法则，去掉括号即可得到：

(a+b)(a-b)=a²-ab+ba-b²=a²-b²

其中a和b可以是任意实数(正数，负数，零)，也可以是整式。例如下面的式子也都成立

(-2)²-3²=(-2+3)(-2-3)

(2x+3y-4)(2x+3y+4)=(2x+3y)²-4²

下面看一下平方差公式的一些用法和变化：

简便运算

例题1：3.14²×9-4.21²×4

3.14²×3²-4.21²×2²

(3.14×3)²-(4.21×2)² = (9.42+8.42)×(9.42-8.42) = 17.84

平方差公式的变形a²=(a+b)(a-b)+b²

例题2：心算997²

虽然可以利用完全平方公式：

997²=(1000-3)² = 1000²-2×3×1000+3²

但是运算过程中有减法，所以心算比较费劲。所以可以利用上面的变形公式转化成加法。一般的简便运算都需要凑成整十整百等，997+3=100，两数相加就是平方差公式的一部分。

997²=(997+3)×(997-3)+3² = 1000×994+9 = 994009

完全可以心算直接写答案，其中a=997，b=3。

请仔细体会这种运算方法，对平方差公式的理解会提升一个高度。

反复运用平方差公式

(a+b)(a-b)(a²+b²)(a^4+b^4)(a^8+b^8)

=(a²-b²)(a²+b²)(a^4+b^4)(a^8+b^8)

=(a^4-b^4)(a^4+b^4)(a^8+b^8)

=(a^8-b^8)(a^8+b^8)

=a^16-b^16

平方差公式的拓展：研究一下平方差到n次方差的规律

a²-b²=(a-b)(a+b)

a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

a^4-b^4=(a-b)(a³+a²b+ab²+b³)

aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+ … +ab^(n-2)+b^(n-1))

以上这些公式都可以用整式除法(大除法)得到，例如(a³-b³)÷(a-b)=a²+ab+b²

为了容易理解可以把b当做常数

+a² +ba +b²

a-b a³ +0a² +0a -b³

a³ -ba²

ba² +0a -b³

ba² -b²a

b²a -b³

b²a -b³

通过这个拓展公式的规律，可以知道a-b可以整除aⁿ-bⁿ。

例题3：已知n=2020，求xⁿ+2除以x-1的余数

xⁿ-1=xⁿ-1ⁿ 所以它能被x-1整除

所以xⁿ+2=(xⁿ-1)+3，即余数是3。