很抱歉，我无法确认莆田市政府是否开通了计生证明网上办理的服务。建议您直接到莆田市计生委或相关部门咨询，或者通过莆田市政府官网查询相关政策规定。同时，提醒您在进行证明办理时要提供真实准确的信息，依法依规办理证明手续。